Téma zlatého poměru a s ním související Fibonacciho posloupnosti

28.04.2014 15:06

Zdroj : zelichov.cz/download/zlaty_pomer.pdf

 

ÚVOD

Téma zlatého poměru a s ním související Fibonacciho posloupnosti mě zaujalo ihned, jakmile jsem o něm slyšela na jedné z přednášek waldorfského semináře. Fascinovalo mě, že by mohly existovat principy, podle kterých je tvořena příroda a podle kterých se vyvíjí vše živé. Znamenalo by to, že nic není dílem náhody, ani život a jeho vývoj. Znamenalo by to, že vše bylo pečlivě promyšleno a je dále s největší pečlivostí tvořeno. Toužím po takovém důkazu, proto se chci sama přesvědčit, že tyto myšlenky jsou reálné. Ve své práci se soustředím na projevy přírody, ve kterých se dá vystopovat souvislost se zlatým poměrem.

Využiji toho, co již o výskytu zlatého poměru v přírodě vím a posléze se soustředím na prozkoumání detailů k potvrzení hypotézy, že jedním z možných způsobů práce tvořivých kosmických sil je práce v systému zlatého poměru a Fibonacciho posloupnosti.

K tomuto snažení využiji metody pozorování a pokus, studium literatury, vlastní myšlenkovou činnost a tvorbu.

1

 

Příroda je záhadné místo

Svět kolem nás je plný záhad a tajemství, které od nepaměti provokovaly lidi k jejich rozluštění. Jedním z fascinujících přírodních jevů je množství spirál, které nás obklopují a které můžeme pozorovat doslova na každém kroku. Spirály se objevují v jevech, které spolu zdánlivě vůbec nesouvisí, jako by nám chtěly ukázat, že tato nesouvislost je opravdu jen zdánlivá. Co je však jejich podstatou?

Spirály můžeme objevit v říši rostlinné i živočišné, v uspořádání částí rostlin, částí těl živočichů včetně člověka. Ale nejen to, spirály můžeme objevovat také v chování živočichů, v přírodních jevech a dokonce ve vesmíru.

Vzhledem k tomu, že rostliny, živočichy ani přírodní jevy nelze přenést na papír v jejich životnosti, budeme se muset spokojit s několika fotografiemi.

Zadíváme-li se pozorně, zjistíme, že šupiny šišky jsou uspořádány do dvou druhů spirál jdoucích proti sobě od stopky ke špičce šišky.

2

 

Ananas je tvořen dokonce třemi druhy spirál - zleva doprava, zprava doleva a shora dolů.

Spirály lze vysledovat také ve vnitřním uspořádání květů nebo v uspořádání semen. Příkladem obou možností je např. slunečnice.

3

 

Stejným způsobem jsou uložena např. semena v plodu jahody, maliny či ostružiny. Zaměříme-li se u rostlin na to, jakým způsobem jsou na stonku rozloženy listy, můžeme vypozorovat, že listy nevyrůstají náhodně, ale že leží také na spirále, která se zdvihá odspoda nahoru a obtáčí stonek rostliny. Ale nejen listy vyšších rostlin vyrůstají na spirále, také lupení např. zelí či salátu je uspořádáno spirálovitě. U některých rostlin jsou takto uspořádané také okvětní lístky, např. u růže. Pnoucí rostliny obtáčí svou oporu ve spirálách.

V živočišné říši se objevuje také množství spirál, ať již např. ve tvarech ulit, v zakroucení rohů či uspořádání růstu vlasů, ale také v otisku prstu.

4

 

V přírodě se spirály vyskytují také v chování živočichů. Např. dravec krouží při lovu ve spirálách, hmyz se ke světlu přibližuje ve spirálách, hadi a červy se stáčí do spirál, pavouci tkají své pavučiny po spirále.

Tvar spirály mají také některé přírodní děje, např. tornáda, vodní či větrné výry, směr vody při odtékání do odpadu.

Jinými přístroji se dá zjistit, že také mnohem menší jevy mají tvary spirál, např. DNA, šnek ve vnitřním uchu člověka...

5

 

Co nám o spirálách říká matematika?

Matematika rozlisuje několik druhů spirál. My se na tomto místě pro naše účely zcela záměrně soustředíme pouze na jeden druh matematické spirály a tím bude spirála logaritmická. Ta je zvláštní tou vlastností, že se vzrůstající velikostí spirály se její tvar nemění. Je si „soběpodobná". Její poloměr roste exponenciálně[1] s velikostí úhlu. K tomu, abychom mohli logaritmickou spirálu sestrojit, je třeba seznámit se s několika dalšími faktory.

Co je zlatý řez?

Rozdělíme-li libovolnou úsečku na dvě nestejně dlouhé části tak, že poměr délky celé úsečky ku délce větší části je stejný, jako poměr délky větší části úsečky ku délce části menší, je tato úsečka rozdělena právě tzv. zlatým řezem. Poměr mezi jejich délkami se nazývá zlatým poměrem (někdy také božským poměrem). Tento poměr se značí písmenem <p (fí). Číslo <p je nazýváno zlatým číslem.

Rozdělit úsečku ve zlatém řezu je možné několika způsoby, např. takto: Narýsujeme libovolnou úsečku AB. Bodem B vedeme přímku p kolmou na úsečku AB. Na přímce p vyznačíme bod M, délka úsečky BM je rovna j úsečky AB. Body A a M vedeme přímku q. Narýsujeme kružnici kse středem M o poloměru BM. Vyznačíme bod N jako průsečík úsečky AM a kružnice k. Narýsujeme kružnici /se středem A o poloměru AN. Vyznačíme bod C jako průsečík úsečky AB a kružnice / Bod C dělí úsečku ve zlatém řezu.

 

Ks

 

 

 

 

6

 

í

 

 

 

 

 

 

 

M

v rovinných útvarech

 

 

Zlatý poměr můžeme nalézt v některých rovinných útvarech:

f

Zlatý obdélník

Pokud všechny strany čtverce rozdělíme zlatým řezem a vepíšeme v těchto bodech do čtverce obdélník, jsou strany tohoto obdélníku ve zlatém poměru.

Sestrojení zlatého obdélníku:

 

Zvolíme jednotku délky (libovolná délka).

Narýsujeme úsečku AB, jejíž délka bude rovna dvěma jednotkám délky. Bodem A vedeme polopřímku AX kolmou k úsečce AB, bodem B vedeme polopřímku BY kolmou k úsečce AB. Na polopřímce AX vyznačíme bod K, velikost úsečky AK je rovna jedné jednotce délky. Narýsujeme kružnici kse středem K a poloměrem rovným třem jednotkám. Vyznačíme bod C jako průsečík kružnice ka polopřímky BY. Bodem C vedeme kolmici k polopřímce BY. Vyznačíme bod D jako průsečík této kolmice a polopřímky AX. Spojíme body ABCĎ, sestrojili jsme zlatý obdélník.

J> X

7

Zlatý trojúhelník

Zlatým tojúhelníkem je libovolný rovnoramenný trojúhelník, který má při základně úhly o velikosti 72° a u vrcholu úhel 36°. Potom jeho strany jsou ve zlatém poměru: b/a = c/a. Sestrojení: Narýsujeme libovolnou úsečku AB. Narýsujeme úhly BAX = 72° a ABY = 72°. Vyznačíme bod C jako průsečík polopřímek AX a BY. Sestrojili jsme zlatý trojúhelník.

Pravidelné mnohoúhelníky Sestrojení pravidelných mnohoúhelníků: Narýsujeme kružnici ko libovolném poloměru r. Zvolíme dva navzájem kolmé průměry. Vyznačíme body ABCĎ jako průsečíky těchto průměrů a kružnice k. Vyznačíme bod O jako střed úsečky AS. Sestrojíme kružnici /se středem O s poloměrem o velikosti úsečky OC. Vyznačíme bod P jako průsečík kružnice /a úsečky 5B. Délka úsečky CP je délkou potřebnou k narýsování síran pětiúhelníku. Poloměr kružnice kje stejný jako délka strany pravidelného šestiúhelníku. Velikost úsečky SP odpovídá velikosti strany pravidelného desetiúhelníku.

Zlatý poměr v pětiúhelníku

> Průsečík dvou úhlopříček dělí každou z nich ve zlatém řezu

> Poměr délky úhlopříčky a strany pětiúhelníku je roven ip

> Sestrojením všech úhlopříček pětiúhelníku dostaneme pentagram, uvnitř kterého je opět pravidelný pětiúhelník. Poměr stran velkého a malého pětiúhelníku je druhá mocnina cp

> Každý z cípů pentagramu je tvořen zlatým trojúhelníkem

7

 

Zlatý obdélník je jediným obdélníkem, z kterého po oddělení čtverce vzniká obdélník podobný. Toto můžeme provádět do nekonečna. Narýsujeme-li dvě úhlopříčky dle obrázku, stanou se tyto úhlopříčkami všech dalších takto vzniklých zlatých obdélníků a protínají se v jediném bodě. Série zmenšujících se obdélníků směřuje k tomuto bodu.

 

/

 

 

' "Ni

 

 

/

 

8

 

Vepíšeme-li do zlatého trojúhelníku rovnoramenný trojúhelník s ramenem ležícím na základně původního trojúhelníku, bude tento nový trojúhelník také zlatý. I toto lze činit do nekonečna. Bod, ke kterému směřují zmenšující se trojúhelníky je průsečíkem úseček spojujících bod při základně se středem protilehlé strany u dvou následujících trojúhelníků.

Logaritmická spirála - zlatá spirála

Nyní můžeme sestrojit logaritmickou spirálu, která je nazývána zlatou spirálou právě proto, že opisuje zlaté obdélníky nebo zlaté trojúhelníky a to velmi specifickým způsobem.

Střed každého oblouku spirály leží u obdélníku vždy v protějším rohu čtverce.

Střed každého oblouku spirály trojúhelníku leží vždy ve zlatém řezu druhé odvěsny, než nad kterou oblouk rýsujeme.

 

Dostali jsme se tedy pres zlatý poměr k sestrojení logaritmické spirály. Tato spirála se v přírodě vyskytuje velmi hojně, např. v ulitách plžů, v kroužení dravců nad svou kořistí, ve tvarech mlhovin a galaxií.

Zlatý poměr však souvisí s dalšími zajímavostmi v přírodě, které se dají vyjádřit matematicky. Ponořme se ještě trochu do matematiky.

Hodnota čísla (p

1. Když budeme úsečku AB považovat za jednotku, velikost <?je tedy 1. AC označíme jako x, CB jako a - x. qj

r— ——- \

Dosadíme do rovnice:   a/x = x/(a - x)

1/x = x/(l - x) převedeme:   x2 + x - 1 = 0 Výsledkem je pro Xi iracionální číslo (-1 + /5)/2, což je přibližně rovno iracionálnímu číslu 1,61803.

2. Pokud budeme předpokládat délku kratší strany CB rovnu jedné jednotce a délku delší strany rovnu x jednotkám, bude platit, že x/1 = (x + l)/x.

A x   ~     "     i i ~ 'b

Dostaneme opět kvadratickou rovnici x2-x-l = 0

Xi = (1 + /5)/2

x2 = (1 - /5)/2 Kladné řešení (xi) je hodnotou zlatého řezu.

Zvláštní vlastnosti iracionálního čísla cp

> <p = 1,618 033 988 7...      <p2= 2,618 033 988 7...      l/«p = 0,618 033 988 7...

> záporné řešení rovnice x = (1 - /5)/2 je rovna hodnotě l/<p

Zlatý poměr v tělesech

Platónská tělesa

Získala název po Platónovi, který jako jeden z prvních matematiků tato tělesa podrobně popsal. Jsou to pravidelné konvexní mnohostěny (z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří stejný pravidelný mnohoúhelník). V trojrozměrném prostoru jich existuje právě pět:

10

 

1. Pravidelný čtyřstěn (jehlan. tetraedr)

Je tvořen čtyřmi stěnami ve tvaru rovnostranného

trojúhelníku.

> Spojením středů jeho stěn vznikne další čtyřstěn.

2. Pravidelný šestistěn (krychle. hexaedr) Je tvořen šesti stěnami ve tvaru čtverce.

> Vepíšeme-li do krychle pravidelný dvanáctistěn, je poměr délky hrany krychle a délky hrany dvanáctistěnu roven cp2.

3. Pravidelný osmistěn (oktaedr)

Je tvořen osmi stěnami ve tvaru rovnostranného

trojúhelníku.

> Vepíšeme-li do pravidelného osmistěnu pravidelný dvacetistěn. pak vrcholy dvacetistěnu rozdělí hrany osmistěnu v poměru zlatého řezu.

4. Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)

Je tvořen dvanácti stěnami ve tvaru pravidelného pětiúhelníku.

> Už tvar stěn, pravidelný pětiúhelník, obsahuje zlaté číslo.

> Do dvanáctistěnu lze vepsat tři navzájem kolmé zlaté obdélníky, jejichž vrcholy leží ve středech stěn dvanáctistěnu.

5. Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)

Je tvořen dvaceti stěnami ve tvaru rovnostranného trojúhelníku.

> Strany všech trojúhelníků stýkajících se v jednom vrcholu protilehlé tomuto vrcholu leží v jedné rovině ve tvaru pětiúhelníku.

> Do dvacetistěnu lze vepsat tři navzájem kolmé zlaté obdélníky spojením vždy dvou protilehlých stěn dvacetistěnu. Společný průsečík těchto obdélníků je středem dvacetistěnu.

Další zajímavé vlastnosti platónských těles

> Kolem všech platónských těles se dá opsat koule, ne které leží všechny vrcholy tělesa

> Dvanáctistěn, jehož hrana je rovna jedné jednotce, má obsah celého povrchu 15cp//3 -cp a jeho objem je 5cp3 /(6 - 2cp).

11

 

> Objem dvacetistěnu, jehož hrana je rovna jedné jednotce, je 5cp/6.

> Krychle a osmistěn mají stejný počet hran (dvanáct), počet stěn a vrcholů však mají prohozený (šest a osm)

> Dvanáctistěn a dvacetistěn mají také stejný počet hran (třicet) a prohozený počet vrcholů a stěn ( dvanáct a dvacet)

> Spojením všech středů stěn krychle dostaneme vepsaný osmistěn, spojením středů stěn osmistěnu získáme vepsanou krychli

> Spojením středů stěn dvanáctistěnu dostaneme vepsaný dvacetistěn a naopak. Pomět délek těchto stran je roven cp2//5

> Spojením středů stěn čtyřstěnu vzniká vepsaný čtyřstěn donekonečna.

> Vepisovat takto tělesa lze do nekonečna

Platón přiřadil ke každé základní látce jedno z těchto těles. Podle něho Zemi ztělesňuje krychle, která se vyznačuje stabilitou, špičatý čtyřstěn zastupuje oheň, vzduch je reprezentován „pohyblivým" vzhledem osmistěnu, vodu symbolizuje mnohotvárný dvacetistěn. Dvanáctistěn připisoval Platón vesmíru jako celku. Věřil, že dvanáctistěn je formou, kterou „bůh použil, aby souhvězdími protkal celou oblohď (Platón in Livio, 2002, s. 65).

Zajímavé je, že tvary pravidelných mnohostěnů se vyskytují v přírodě například jako krystalické struktury některých nerostů. Zlatý řez je tedy dílem přírody. Pyrit se svou krychlovou soustavou má často krystal ve tvaru krychle, dvanáctistěnu nebo osmistěnu.

Fibonacciho posloupnost

Leonardo Pisánský, známý pod jménem Leonardo Fibonacci, vydal v roce 1202 své nejslavnější dílo „Kniha o abaku". V něm shrnul všechny tehdejší znalosti z aritmetiky a algebry. Šlo o jednu z prvních knih v Evropě, která učila používat desítkovou soustavu. Fibonacci proslul následující úlohou.

> Jeden muž umístil pár králíků do prostoru obehnaného ze všech stran zdí. Kolik párů králíků vznikne z tohoto páru, předpokládáme-li, že každý pár zplodí každý měsíc nový pár, který začne plodit potomky druhý měsíc po narození?

Po prvním měsíci se narodí původnímu páru druhý pár, jsou tedy dva páry. Po druhém měsíci se narodí dospělým králíkům nový pár a první mladý pár dospěje. Máme tedy tři páry. Po třetím měsíci se narodí každému ze dvou dospělých párů po jednom mladém páru a zároveň druzí mladí dospějí. Takže párů je teď pět. Takto pokračujeme dále.

VV

vv VV VV vv VV

vv   VV      VV    vv VV VV vv VV vv VV  VV vv VV vv VV VV vv VV VV vv VV vv VV VV vv VV

12

 

Z řešení vyplývají posloupnosti:

> dospělých párů: 1, 1, 2, 3, 5, 8...

> mladých párů: 0, 1, 1. 2, 3, 5...

> všech párů: 1, 2, 3. 5. 8, 13...

Posloupnost 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89..., kde každý člen (počínaje třetím) je součtem dvou předchozích členů, je nazývána Fibonacciho posloupností.

V jiném případě hledání kolika způsoby může dítě vystoupat celé schodiště, když může naráz překročit maximálně dva schody, zjišťujeme, že počet možností 1, 2, 3, 5, 8... představuje opět Fibonacciho posloupnost. Takto se nám zobrazuje Fibonacciho posloupnost i v dalších, zdánlivě nesouvisejících jevech, např. v rodokmenu trubců, v optice jako počet možností lámání paprsků, atd. (Livio, 2002, s. 88 - 92)

Obecně se tato posloupnost dá vyjádřit vzorcem: Fn = Fn-1 + Fn-2

Fn znamená n-té číslo posloupnosti, Fn-1 je člen předcházející Fn a Fn-2 člen předcházející Fn-1. Pro přímý výpočet n-tého členu Fibonacciho posloupnosti existuje Binetův vzorec: Fn = (X1n - X2n)//5,      kde:    X1 = (1 + /5)/2,       X2 = (1 - /5)/2

Souvislost Fibonacciho posloupnosti se zlatým řezem

Pokusíme-li se vypočítat poměr mezi sousedními členy Fibonacciho posloupnosti, dojdeme k překvapivým závěrům.

1/1 = 1,000 000 2/1 = 2,000 000 3/2 = 1,500 000 5/3 = 1,666 666 8/5 = 1,600 000 13/8 = 1,625 000 21/13 = 1,615 385 34/21 = 1,619 048 55/34 = 1,617 647 89/55 = 1,618 182 144/89 = 1,617 978 233/144 = 1,618 056 377/233 = 1,618 026 610/377 = 1,618 037 987/610 = 1,618 033

Poměr dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel se s jejich zvyšující se hodnotou přibližuje stále více k hodnotě zlatého řezu. Střídavě je výsledná hodnota větší a menší než cp.

13

 

Zlatý úhel

Stejně jako můžeme provézt zlatý řez na úsečce, je možné tento provézt na kruhu. Získáme tím dva úhly, z nichž větší je k menšímu ve stejném poměru, jako celý kruh k většímu úhlu. Za pomoci tohoto zlatého poměru vzniklý menší úhel o velikosti přibližně 137,51° je nazýván zlatým úhlem.

Existuje také zlatý prostorový úhel, který stejným způsobem dělí kouli.

Náměty k dalšímu pozorování a objevování

Fraktály

Fraktály jsou tvary, vykazující soběpodobnost, nekonečnou posloupnost motivů opakujících sami sebe na všech úrovních velikosti. Mívají na první pohled složitý tvar, ale jejich matematická struktura je velmi jednoduchá. Fraktály můžeme objevovat v přírodě. Jedná se např. o rozvětvování stromů, růst krystalů, rozvětvování cévního systému, uspořádání sněhové vločky, atd. Fraktál vzniká opakovaným použitím jednoduchých pravidel.

Kvazikrystaly

Dlouho byli vědci přesvědčeni, že existují pouze dva typy látek - amorfní a krystalické. Amorfní látky nemají pravidelné vnitřní uspořádání. Krystalické látky vykazují pořád dokola jednu stejnou strukturu. Např. krystal soli má tvar krychle. Mělo se za to, že krystalická struktura může mýt pouze dvou, tří, čtyř a šesti násobnou symetrii.

V roce 1982 však izraelský inženýr Dany Schectman objevil zvláštní formu struktury, která se pravidelně neopakuje, je jedinečná a přesto jistým způsobem pravidelná a navíc vykazuje pětinásobnou symetrii. Tyto kvazikrystaly, jak byly nazvány, se však běžně v přírodě nevyskytují. Byly nalezeny zatím pouze ve slitinách kovů.

Několik let před tímto objevem se Roger Penrose zabýval vyplňováním roviny a objevil možnost zaplnit rovinu dvěma tvary dlaždic s jistou symetrií.

Penroseovy dlaždice i kvazikrystaly jsou plny zlatých řezů a čísel cp. Například poměr počtu dlaždic jednoho tvaru vůči počtu dlaždic druhého tvaru v rovině je roven zlatému poměru, tyto tvary mají vlastnosti zlatého poměru, pětičetná symetrie kvazikrystalů předpovídá přítomnost zlatého poměru.

Zlaté číslo v hudbě

Podle některých badatelů je hudba uměleckým vyjádřením matematiky. V hudbě je mnoho matematických souvislostí od poměru délek not přes intervaly k rytmickému členění skladby. Někteří však v hudbě objevili také Fibonacciho čísla a zlatý poměr. Například na klavíru obsahuje jedna oktáva 13 kláves, z toho 8 bílých a 5 černých - všechno Fibonacciho čísla. Někteří považují velkou a malou sextu za nejpříjemnější intervaly. Tón A má frekvenci 440 vibrací za vteřinu. Velká sexta je na tónu C, který má frekvenci asi 264 vibrací za vteřinu.

14

 

Poměr těchto frekvencí 440/264 se dá vykrátit na 5/3, což je poměr dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel. Někteří skladatelé prý využívali číslo p ve svých skladbách (počet not v taktu, intervaly, počet taktů v jednotlivých částech skladby ...).

Zlaté číslo v umění a stavitelství

Zlatý řez je v umění využíván proto, že tento poměr je pro lidské oko příjemný a je považován za krásný. Ve svých obrazech jej využíval např. Leonardo da Vinci. Zlatý poměr je využíván také v sochařství. Proporce lidského těla se pohybují okolo jeho hodnoty. Také některé stavby jsou postaveny s využitím zlatého poměru. Předpokládá se, že zlatý poměr byl využit např. při stavbě řeckého Pantheonu. Někteří badatelé se snaží dokázat, že tento poměr nesou ve své konstrukci také pyramidy.

Úvaha závěrem teoretické části

Výskytem spirál v přírodě se zabýval také J. W. von Goethe a na toto téma napsal své dílo „Tendence ke spirálovitému růstu u rostlin".

V přírodě existují jistě i jiné druhy spirál. Zde jsme se soustředili na spirálu logaritmickou pro její okouzlující vlastnosti, které přímo podněcují myšlenky na nekonečný, stále se opakující a přesto jedinečný vývoj, směřující, podle úhlu pohledu, buď k jednomu bodu, nebo od něj. Pokud je toto princip, podle kterého pracují tvořivé životní síly, nabízí se zde přirovnání ke vzniku světa z jednoho bodu, či jeho návrat do jednoho bodu. Otázkou by však zůstalo, zda je tento bod dosažitelný, tedy zda je číslo cp konečné. Žádnému matematikovi se totiž ještě nepodařilo toto zjistit. Takže prozatím „to ví jen Bůh".

Při rýsování zlaté spirály, mne zaujalo, že podle toho, jak je tato narýsována, je buď do středu pravotočivá a ze středu levotočivá, nebo obráceně. Z toho vyvstala otázka po tom, jak je to v přírodě. Je v tomto nějaké pravidlo? Vyskytuje se v přírodě více jedné z možností, nebo jsou obě zastoupeny přibližně stejnou měrou? Soustředíme se na tyto otázky v další části této práce.

Čím je vlastně spirála? Spirála ve mně navozuje pocit pohybu. To by souhlasilo s mým vnímáním tvořivých životních sil, které musí být v neustálém pohybu, aby se cokoli živého nerozpadlo v prach tak, jako se to děje neživé hmotě. Pohyb po spirále je přirozený. Stačí roztočit káču na podlaze a ona kromě pohybu dokola začne vykonávat i pohyby stranou a dokola, možná v závislosti na tom, jak moc kolmo jsme na ni působili. Pokud zamícháme lžičkou kávu, začne se tato otáčet - uprostřed, v místě míchání nejrychleji, na okrajích pomaleji. Zároveň se nejrychleji otáčející se střed propadá a pohybuje směrem do hmoty kávy. Kdybychom si představili, že roztočíme nějaký bod v prostoru, jakým směrem se bude pohybovat? A pokud by k tomuto bodu bylo přivázáno několik provázků, jaký tvar by při jeho otáčení vznikl?

Odpovědi můžeme nalézt, zadíváme li se na fotografie hvězdných soustav a mlhovin. Dlouhou dobu mne znepokojovala otázka, zda jsou oběžné dráhy planet ve stejné rovině. Když jsem zjistila, že víceméně ano, zajímalo mě, jak je to možné. Proč některá planeta neobíhá kolem Slunce křížem k těmto drahám? Hraje zde roli odstředivá síla?

15

 

Země se neotáčí stejnoměrně kolem své osy, ale póly opisují kruhy. Zřejmě také pravý a jediný středový bod Země se nepatrně naklání. Při představě, že tento středový bod je ještě v pohybu dalším směrem (jakoby vpřed, či vzad), protože předpokládám, že nestojí na místě, ale pohybuje se minimálně s rozpínáním vesmíru, vyvstává zcela zřetelná představa tvaru, který pohyb Země a potažmo celá sluneční soustava může vykonávat - logaritmická spirála.

Nyní mě zaměstnává otázka, jak je to s celým vesmírem. Budeme-li předpokládat, že vznikl z jediného bodu, otáčí se také kolem něho? Pokud ano, znamená to, že se vesmír rozpíná do tvaru spirály? Možná, stejně jako u tornáda, odstředivou silou odlétají z této spirály kousky, které se již neudržely a rozptylují se dále v prostoru. Možná, že jim zůstává otáčivý pohyb, který konaly společně s mateřskou spirálou a vytváří tím v prostoru další spirály. Toto je samozřejmě má fantazie.

K otáčení mě napadá ještě jiná souvislost. Všimněme si, že roztočená káča vydává tón, někdy i více tónů. Není to hluk, je to skoro určitě tón. Tornádo vydává také zvuk, hluboký a dunivý, ale možná by se také dal nazvat tónem. Pokud otáčející se předměty vydávají tóny, mohu nyní svým způsobem pochopit, co znamená „hudba sfér".

Tyto úvahy, i když netvrdím, že jsou správné, mě vedou tomu, že vývoj vesmíru a tedy i nás, je veden, a je závislý na určitých zákonitostech, nejen přírodních, ale i duchovních. Někdo přece musel roztočit aspoň první bod.

Také působení oživujících tvořivých sil po spirálách dává tímto smysl. Zřejmě vzešly ze stejného počátečního bodu. Jsou silami, které proudí hmotou a svým pohybem jí dávají tvar. Proto mohou listy rostliny vyrůstat na spirále kolem stonku. Proto šnečí ulita vyrůstá do spirály.

I při těchto úvahách nesmíme zapomínat na to, že něco , možná všechno, může být úplně jinak. Tento náhled by mnohé vysvětloval, ale mnohé také ne. Otvírá se mnoho dalších otázek, které však již nejsou předmětem této práce. Vrátíme se tedy k předmětu této práce a tím je výskyt zlatého čísla v přírodě.

16

 

Pozorování a tvorba

Vytyčili jsme si několik úkolů:

1. Spočítat okvětní lístky u 20 sedmikrásek a zjistit, je-li zde nějaký vztah jejich počtu k číslům Fibonacciho posloupnosti.

2. Zjistit počet spirál u 20 šišek a posoudit, je-li zde nějaký vztah jejich počtu k číslům Fibonacciho posloupnosti.

3. Pozorovat uspořádání listů a květu květáku.

4. Pozorovat uspořádání listů kedlubny.

5. Pozorovat počty spirál tvořených semeny ve slunečnicích, jejich pravotočivost či levotočivost směrem od středu květu, vztah ke zlatému poměru.

6. Geometrické hrátky se zlatým poměrem.

Úkol číslo 1

Spočítali jsme okvětní lístky 20 sedmikrásek. První z nich nás příjemně navnadila, protože počet jejích okvětních lístků byl přesně 55, což je Fibonacciho číslo. Bohužel, tato sedmikráska byla jediná. Přestože jsme vybírali pěkně vyvinuté a zdravé rostlinky, počet jejich okvětních lístků nebyl stejný, ba dokonce zřejmě neměl žádný vztah k Fibonacciho číslům. Zde jsou počty okvětních lístků, které jsme zjistili:

55, 47, 48, 48, 45, 48, 53, 46, 45, 39, 46, 58, 46, 42, 40, 54, 40, 63, 63, 56

I když někteří badatelé tvrdí, že Fibonacciho číslu odpovídá počet okvětních lístků v jedné řadě a sedmikrásky měly řady dvě, z těchto čísel bychom se na Fibonacciho posloupnost dostávali zřejmě jen nějakou manipulací, což není naším záměrem. Možná existuje nějaké vysvětlení toho, proč počty lístků s Fibonacciho posloupností nesouhlasí, ale nám není známé. Necháme proto výsledky tak a zaměříme se na další úkol.

Úkol číslo 2

K dispozici jsme měli 11 smrkových, 14 borových a 12 modřínových šišek. Počítali jsme spirály a zaznamenali jejich levotočivost či pravotočivost ve směru od stopky. Výsledky dopadly takto:

spirály       1.  2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Smrkové pravotočivé     8    5   7   8   8    5    5    8    8    8 5 levotočivé       5    8   11    5   5    8    8    5    5    5 8

spirály       1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Borové pravotočivé    13 13 13 8  8 13 13 13 8   5  3   8    8 8 levotočivé      8  8 8 13 5  8 8   8  5   8  5   5    5 5

17

 

spirály 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. 12.

Modřínové pravotočivé      5   5    5    4    5    8   8    5    8     5    5 8 levotočivé        8   8    8    7    8    5   5    8    5    8    8 5

Z uvedeného vyplývá, že vždy po sobě jdoucí Fibonacciho čísla se v počtu spirál u šišek vyskytují v převážné většině . U šišek smrkových a modřínových převažuje počet spirál 8 a 5, u borových 13 a 8. Přitom se střídá počet levotočivých i pravotočivých. Zdá se, že v žádném směru výrazně nepřevažuje vyšší či nižší počet spirál.. I v takto poměrně malém počtu šišek se nám však podařilo najít několik výjimek. Smrková šiška s počtem spirál 11 a 7, modřínová šiška s počtem spirál 7 a 4. Tato čísla nejsou obsažena ve Fibonacciho posloupnosti. Jejich poměr je více vzdálen zlatému číslu. Jedna z borových šišek má počet spirál 5 a 3, přičemž jsme se přesvědčily, že tento počet není závislý na velikosti šišky, protože i menší šišky měly počty spirál 8 a 5.

Úkol číslo 3

Pozorovali jsme uspořádání listů a květu květáku. Vytvořili jsme následující sérii fotografií postupně, jak byla oddělována jednotlivá „patra".

18

 

Zjistili jsme, že jak listy, tak květ květáku je uspořádán do poněkud nepravidelného pětiúhelníku. Vždy zbývá v jednom místě větší mezera mezi listy či částmi květu, ve které vykukuje jakoby šestý list, nebo část květu, ale ty jsou vždy znatelně o patro výše. Pro zvýraznění a znatelnost na fotografiích jsme prohloubili každou mezeru mezi sousedními částmi květu.

Úkol číslo 4

Pozorovali jsme uspořádání růstu listů na třech kedlubnách. Zde je zajímavé, že „jizvy" po listech jsou znatelné ze všech stran kedlubny, tedy i zespoda. Vysvětlujeme si to tak, že blízko kořenu byly listy, když byla rostlina mladá. Postupem času, jak nabývala na objemu, spodní listy postupně opadávaly a zůstaly nakonec jen nahoře.

Vypozorovali jsme, že listy všech třech kedluben rostly od kořene spirálovitě po pravotočivé spirále postupně až nahoru doprostřed, kde byla velikost listů nejmenší.

Úkol číslo 5

Vzhledem k tomu, že naše práce vznikala v zimních a jarních měsících, kdy nebyly k dispozici živé květy slunečnic, snad nám čtenáři odpustí, že jsme pozorovali slunečnice na fotografiích. Pozorovali jsem počty spirál tvořených semeny ve slunečnicích. Semena jsou ve slunečnicích uložena v několikerých spirálách. Na vnitřní spirály, kterých bývá většinou 21, navazují někdy ve stejném směru spirály, kterých je pak 55. Přes vnitřní spirály vedou spirály v opačném směru, kterých je 34. Pravotočivost nebo levotočivost spirál jsme určovali směrem od středu.

19

 

Slunečnice s 55 vnějšími pravotočivými, 34 levotočivými a 21 vnitřními pravotočivými spirálami. Foto z hŤŤp://Ťranslate.googleuserconŤenŤ.com

Slunečnice s 21 vnitřními pravotočivými, 34 levotočivými a 55 vnějšími pravotočivými spirálami. Foto z hŤŤp://blueblots.com

20

 

21 levotočivých, 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál Foto z htŤp://Chyba! Odkaz není platný.

Slunečnice s 89 levotočivými a 55 pravotočivými spirálami.

Foto z htŤp://www.etsy.com

21

 

Slunečnice s 21 vnitřními pravotočivými, 34 levotočivými a 55 vnějšími pravotočivými spirálami. Foto z http : //www.etsy.co m

55 vnějších levotočivých a 34 pravotočivých spirál. Foto z https://blueblots.com

22

 

Všechny součty spirál tvořených semeny tohoto vzorku slunečnic jsou čísla z Fibonacciho posloupnosti.

A zde je možné vysvětlení pravidelného uložení semen ve slunečnici.

„Hlava květu se skládá z malých semen, která jsou vyráběna v centru a poté migrují směrem ven vyplnit nakonec celý prostor. Každé nové semeno se objeví v určitém úhlu ve vztahu k předcházejícímu. Pokud by byl úhel např. 90 stupňů, to 'je 1/4 otáčky, výsledek po několika generacích by vypadal asi jako na obrázku 1.

To samozřejmě není nejúčinnější způsob vyplnění prostoru. Ve skutečnosti, pokud bude úhel mezi semeny odpovídat jednoduchému zlomku, 1/3,1/4, 3/4, 2/5, 3/7, atd. (to je jednoduché racionální číslo), vždy vznikne série přímek. Pokud se chceme vyhnout lineárnímu vzoru, je třeba vybrat úhel, který je iracionálním číslem. Pokud je tento zaokrouhlený na jednoduchý zlomek, dostaneme řadu křivek, spirálních ramen, které ani potom nevyplňují prostor dokonale (obr. 2).

ZQ účelem optimalizace náplně, je nutné zvolit nejvíce iracionální číslo, to ^í^r:-::-|^?Sí>zna,ilcnó zlomek, který se mu nejvíce přibližuje. Toto zlaté číslo je přesně tou '&&0^M%í° správnou zlatou střední cestou. Odpovídající úhel, zlatý úhel, je 137,5

stupně. (Ten získáme tak, že vynásobíme l/cp 360 stupni, a protože dostaneme "fl-3       úhel větší než 180 stupňů, využijeme jeho doplněk). S tímto úhlem dostane

optimální náplň, tedy stejné rozestupy mezi všemi semeny (obr. 3).

Tento úhel musí být zvolen velmi přesně. Variace 1/10 stupně zničí úplně celou optimalizaci. (Na obr. 2 je úhel 137,6 stupňů!) Jedině pokud je úhel zlatý, dvě rodiny spirál (jedna v každém směru) jsou pak viditelné. Jejich počty odpovídají čitateli a jmenovateli jednoho zlomku, který je přibližně zlatým poměrem. 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, atd.

To je důvod, proč počet spirál v centrech slunečnice, a v centrech květiny obecně, odpovídají Fibonacciho číslům. Navíc obecně okvětní lístky květin vznikají na jednom průsečíku spirál. To pak je také důvod, proč počet lístků odpovídá v průměru Fibonacciho číslům."

htŤp://Chyba! Odkaz není platný.

Zdá se, že pokud by nebyla semena ve slunečnici uložena pod daným úhlem tak, že vytváří spirály v přesném počtu jedním i druhým směrem, neměla by rovnoměrné rozložení a docházelo by k jejich nerovnoměrnému růstu. Příroda tedy opravdu ví, jak vytvářet ideální uspořádání.

Úkol číslo 6

Na několika dalších stranách přikládáme důkaz estetického působení využití zlatého poměru v geometrických obrazcích.

23

 

 

25

 

26

 

27

 

28

 

Závěr

Výsledky některých úkolů potvrdily výskyt spirál a zlatého poměru v přírodních jevech. Nejde však zřejmě o jediný princip, podle kterého tvořivé síly pracují. V mnoha jevech, které jsem zde nepopisovala, se mi nepodařilo žádnou souvislost s tímto principem nalézt. Samozřejmě vím, že to neznamená, že nemůže existovat.

Např. klasy kukuřice mají několik svislých řad semen. Počet řad je různý a není roven žádnému Fibonacciho číslu. Na několika keřích jsem vypozorovala poměr počtu listů k počtu otáček spirály kolem stonku roven poměru dvou Fibonacciho čísel, už se mi nepodařilo najít keř, který by svým rozložením větví odpovídal Fibonacciho posloupnosti. Počty okvětních lístků různých rostlin mnohdy mají hodnotu také jinou, než Fibonacciho číslo.

Možná, že je toto všechno vysvětlitelné v rámci tohoto principu tvoření, možná že ale není. Možná, že zlatý poměr není jediným principem tvoření a možná, že není tím nejvyšším.

V každém případě je to princip velice okouzlující a zajímavý a stojí za to se kolem sebe rozhlížet a jeho projevy zaznamenávat.

Bylo by toho mnoho, co by se dalo ještě k zlatému poměru napsat. V teoretické části práce jsem se snažila co nejstručněji popsat co nejvíce souvislostí, na spoustu dalších záležitostí už nezbývalo místa. Přesto doufám, že se mi podařily nastínit dalekosáhlé souvislosti a dosah, který tento poměr má.

V praktické části jsem se soustředila pouze na některé z možných projevů zlatého poměru. Nabízí se mnoho dalších možností pozorování, které třeba uskuteční nějaký další posluchač waldorfského semináře.

Zpracovávání tohoto tématu mě samotné otevřelo dveře k novému způsobu vnímání přírody a tvořivých sil vesmíru. Procházky přírodou pro mne přestaly být nudné a staly se prostředkem k zábavnému objevování zázračných souvislostí.

Doufám, že tato práce otevře oči některým dalším neznalým lidem, nebo alespoň přiměje čtenáře zamyslet se nad tím, jak to vlastně v tom našem vesmíru všechno funguje.

29

 

Použitá literatura:

LIVIO, M. Zlatý řez. Praha: Dokořán, Argo, 2006. ISBN 80-7363-064-8, 80-7203-808-7

CHMELÍKOVÁ, V. Zlatý řez. Univerzita Karlova v Praze, Bakalářská práce, 2006

https://bezdecka.bigbloger.lidovky.cz/c785238/Spiraly-okolo-nas.html

https://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

https://originalbeauty.wordpress.com/2009/06/27/spirals-in-nature/

Obrázky převzaty z volně přístupných internetových stránek

Foto kvazikrystalu - Lukáš Palatinus

https://www.rozhlas.cz/praha/rady/_zprava/kvazikrystaly-nobelova-cena-za-chemii-za-rok-2011--1039459

Obrázky platónských těles - https://cs.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nsk%C3%A9_t %C4%9Bleso

30



[1]  Exponenciálně - umocňováním, exponent = mocnitel